Madalena Costa iniciou os seus estudos musicais na Escola de Música Nossa Senhora do Cabo, onde estudou com a professora Beatrix Schmidt. Atualmente encontra-se a concluir a licenciatura na Civica Scuola di Musica Claudio Abbado, em Milão, na classe da Dr Irina Zingg. Ao longo do seu percurso participou em diversas competições, como a International Harp Competition de Linda-a-Velha, onde conquistou o 3.º lugar na IV edição, o 2.º lugar na V edição e o 3.º lugar na VI edição. Frequentou igualmente masterclasses com harpistas de renome internacional como Carolina Coimbra, José António Domené, Naja Mohoric, Cristina La Bruna. Participou também nas edições 16, 17 e 18 do HarpMasters, trabalhando com músicos de destaque como Milda Agazarian, Mara Galassi, Anneleen Lenaerts, Luisa Prandina, Ieuan Jones e Irina Zingg.
Como intérprete, apresentou-se em várias salas e espaços culturais em Portugal, incluindo o Centro Cultural de Belém, onde interpretou o primeiro andamento do concerto de George Frideric Handel sob a direção do maestro Carlos Silva. Atuou também no Palácio Nacional da Ajuda, no Palácio dos Aciprestes em Linda-a-velha, no Pavilhão Paz e Amizade em Loures e no Convento de Cristo em Tomar, onde colaborou com o Ensemble ZêzereArts no Festival ZêzereArts, com o maestro Brian MacKay. A nível internacional apresentou-se em cidades como Toledo, Oviedo e Salamanca, em Espanha, e em Milão, Loreto e Macerata, em Itália, participando em diversos projetos de música de câmara e orquestra, incluindo a OSCNC dirigida pelo maestro Tomáš Hanus. Entre participações especiais destaca-se a participação na orquestra do encontro vocacional do Caminho Neocatecumenal no âmbito da Jornada Mundial da Juventude 2023 e o concerto com o grupo Arpa Baleno no Museu do Vaticano em 2025.
Paralelamente à sua atividade artística, desenvolve também trabalho pedagógico. Desde 2024 leciona como professora na Ricordi Music School em Milão, onde ensina harpa e ensemble, continuando atualmente em 2026.